Contoh Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dalam Soal Cerita

Contoh Soal Cerita SPLDV - ada begitu banyak permasalahan di dalam kehidupan sehari-hari yang bisa kita selesaikan perhitungannya dengan memanfaatkan Sistem Persamaan Linear dua Variabel atau yang biasa disebut dengan SPLDV. Biasanya, permasalahan tersebut dituliskan dalam bentuk soal cerita. 

Jika sebelumnya kalian sudah membaca penjelasan Rumus Matematika Dasar tentang Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel maka contoh soal yang akan disajikan kali ini akan sedikit berbeda karena kita akan mempelajari bagaimana penerapan SPLDV untuk menyelesaikan soal cerita. Mari kita simak bersama pembahasannya berikut ini:

Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dalam Soal Cerita

Contoh Soal 1
Pada pertunjukan seni terjual 500 lembar karcis yang terdiri dari karcis kelas Ekonomi dan Karcis kelas Utama. Harga karcis kelas Ekonomi adalah Rp. 6000,00 dan kelas Utama adalah Rp. 8000,00 . Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp.3.360.000,00 . berapakah jumlah karcis kelas Ekonomi yang terjual ?

Penyelesaiannya :
Misal jumlah karcis kelas ekonomi = a, jumlah karcis kelas Utama= b

Maka
a + b  = 500 …. (1)
6000a + 8000b = 3.360.000à 6a + 8b = 3.360… (2)

Eliminasi b 
a + b  = 500        | x 8
6a + 8b = 3.360| x 1

8a + 8b = 4000
6a + 8b = 3.360 –
         2a = 640
           a = 320

Jadi banyaknya karcis kelas ekonomi yang terjual adalah 320 karcis


Contoh Soal 2
Dea dan Anton bekerja pada pabrik tas. Dea dapat menyelesaikan 3 buah tas setiap jam dan Anton dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam. Jumlah jam kerja Asti dan Anton adalah 16 jam sehari, dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas.  Jika, jam kerja keduanya berbeda tentukan jam kerja mereka masing-masing!

Penyelesaiannya :
Misal jam kerja Dea = a, jam kerja Anton = b

Maka
3a + 4b = 55 | x 1
a + b = 16     |x 3

3a + 4b = 55
3a + 3b = 48 –
          b = 7
a = 16 -7 = 9

Jadi, Dea bekerja selama 9 jam dan Anton bekera 7 jam dalam sehari

Contoh Soal 3
Jumlah dua bilangan adalah 200. Dan selisih bilanga itu adalah 108. Tentukan lah bilangan yang paling besar diantara keduanya.

Penyelesaiannya :
Misal bilangan yang terbesar a, dan yang terkecil b

Maka
a + b = 200
a – b = 108 +
      2a = 308
        a = 154
Jadi, bilangan yang terbesar adalah 154


Contoh Soal 4
Aldi membeli 4 buku dan 5 pensil seharga Rp.24.000,00 . ida membeli 6 buku dan 2 pulpen seharga Rp. 27.200,00. Jika Mira ingin membeli 3 buku dan 2 pensil berapa yang harus dibayar Mira?

Penyelesaiannya :
Misal buku = b, dan pensil = p
4b + 5p = 24.000 | x 2
6p + 2p = 27.200 | x 5

8b   + 10p =   48.000
30p + 10p = 136.000 –
          -22b = 88.000
               b = 4000

4(4000) + 5p = 24.000
                  5p= 8000
                    p= 1600

3b + 2p = 3(4000) + 2(1600) = 15.200

Jadi, Mira harus membayar Rp. 15.200,00


Contoh Soal 5
Sebuah toko menjual dua jenis tepung sebanyak 50 kg. Tepung jenis I seharga Rp.6000,00 dan Tepung jenis II seharga Rp. 6.200,00.  Seluruh tepung habis terjual dan pedagang mendapatkan Rp. 306.000,00. Buatlah model matematika dari persoaan tersebut!

Penyelesaiannya :
Misal berat tepung jenis I = x dan tepung jenis 2 = y

Maka
x + y = 50
6000x + 6200y = 306.000 à  60x + 62 y = 3.060

Jadi persamaanya adalah  x + y = 50 dan 60x + 62 y = 3.060

Itulah beberapa Contoh Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dalam Soal Cerita yang dapat kalian amati dan pelajari agar bisa lebih mudah dalam menyelesaikan soal-soal serupa yang biasanya muncul pada ulangan harian ataupun ujian semester. Semoga apa yang telah dijabarkan di atas bisa dipahami dengan baik oleh kalian. Sampai bertemu lagi pada materi pembahasan soal-soal matematika lainnya. Selamat belajar!!!!

Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel - Apakah kalian sudah memahami apa yang di maksud dengan SPLDV ? Jika belum, sebaiknya kalian membaca terlebih dahulu materi sebelumnya mengenai Penjelasan Metode Subtitusi dan Eliminasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel  karena pembahasan soal yang akan diberikan oleh Rumus Matematika Dasar kali ini berhubungan dengan materi tersebut. apabila kalian sudah membaca dan memahami konsep di dalamnya, yuk mari langsung kita sama sama mempelajari contoh-contoh soal yang ada di bawah ini:

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Pembahasannya

Contoh Soal 1
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan metode substitusi:
x + y = 8
2x + 3y = 19

Jawab :
x + y = 8…. (1)
2x + 3y = 19 … (2)
x + y = 8
x = 8- y

Subtitusikan x = y – 8 ke dalam persamaan 2 

 
2 (8- y) + 3y = 19
16 - 2y + 3y = 19
16 + y = 19
y = 3

Subtitusikan y = 3 ke dalam persamaan 1

 
x + 3 = 8
x = 5

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 5 dan y = 3


Contoh Soal 2
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi:
2x – y = 7
x + 2y = 1

Jawab :

Eliminasi x
2x – y = 7 | x1 --> 2x – y = 7 ... (3)
x + 2y = 1 | x2 --> 2x – 4y = 2 ... (4)

2x – y = 7
x + 2y = 1 -
    -5y = 5
y = -1

Eliminasi y
2x – y = 7 | x2 --> 4x – 2y = 14 ... (5)
x + 2y = 1 | x1 --> x + 2y = 1 ... (6)

4x – 2y = 14
  x – 2y = 1 -
       5x =15
        x = 3

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 3 dan y = -1


Contoh Soal 3
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode campuran:
x + y = -5
x – 2y = 5

jawab :

Eliminasi x
x + y = -5
x – 2y = 5 -
      3y = -9
        y = -3

Substitusi y
x + (-3) = -5
x = -2

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = -2 dan y = -3


Contoh Soal 4
Umur Melly 7 tahun lebih muda dari umur Ayu. Jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Tentukanlah umur mereka masing-masing !

Jawab :
Misalkan umur melly = x dan umur ayu = y, maka
y – x = 7… (1)
y + x = 43… (2)

y = 7 + x

subtitusikan y = 7 + x kedalam persamaan 2

7 + x + x = 43
7 + 2x = 43
2x = 36
x = 18
y = 7 + 18 = 25

Jadi, umur melly adalah 18 tahun dan umur ayu 25 tahun.

 

Contoh Soal 5
sebuah taman memiliki ukuran panjang 8 meter lebih panjang dari lebarnya. Keliling taman tersebut adalah 44 m. tentukan luas taman !

Jawab :Luas taman = p x l
P = panjang taman
L = lebar taman

Model matematika :
P = 8 + l
k = 2p + 2l
2 ( 8 + l) + 2l = 44
16 + 2l + 2l = 44
16 + 4l = 44
4l = 28
l = 7

P = 7 + 8 = 15
Luas = 7 x 15 = 105 m2

Jadi, luas taman tersebut adalah 105 m2

Demikianlah penjelasan singkat mengenai 5 Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel yang dapat kami berikan pada kesempatak kali ini. Apakah kalian sudah bisa memahaminya dengan baik? Jika mersa kesulitan atau terdapat kesalahan di dalam penjelasan soal tersebut, silahkan tinggalkan pesan pada kolom komentar di bawah. Kami akan sangat senang untuk mendengarkan kritik, saran, ataupun pertanyaan dari kalian semua. Terima kasih dan sampai jumpa!!!

Contoh Soal Persamaan Linear Satu Variabel Dalam Kehidupan Sehari-hari

Contoh Soal Persamaan Linear Satu Variabel - Halo sahabat setia Rumus Matematika Dasar berjumpa lagi dalam materi mengenai contoh soal dan pembahasannya. Yang akan kita pelajari pada kesempatan kali ini adalah mengenai persamaan linear satu variabel di mana pada soal-soal yang akan dibahas kali ini berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Sebelumnya kami sudah pernah membahas tentang Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel yang sebaiknya kalian baca dan pahami terlebih dahulu sebelum menyimak pembahasan soal yang ada di bawah ini. Akan tetapi apabila kalian merasa sudah paham dengan konsep persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel, yuk langsung saja kita simak bersama penjelasannya berikut ini:

Contoh Soal Persamaan Linear Satu Variabel

Contoh Soal 1    

Pak Sarif memiliki sebidang tanah berbentuk persegi panjang, Lebar tanah tersebut 5 meter lebih pendek dari panjangnya. Keliling tanah pak Sarif adalah 50 meter. Berapakah ukuran panjang dan lebar tanah Pak Sarif?

Penyelesaiannya :

Diketahui : keliling tanah = 50 m

Misalkan ukuran panjang tanah = x, maka lebar tanah = x -5

Keliling tanah = keliling persegi panjang

     50 = 2 ( p + l)

     50 = 2 ( x + x – 5)

     50 = 2 ( 2x – 5)

     50 = 4x – 10

                  50 + 10 = 4x

                           60 = 4x

                      60 : 4 = x

                            15 = x

Panjang tanah = x = 15 meter

Lebar tanah = x – 5 = 15 – 5 = 10 meter

Contoh Soal 2   

Diketahui jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 66. Tentukanlah bilangan yang paling kecil!

Penyelesaiannya :

Diketahui  : Tiga bilangan genap berjumlah 66

Bilangan genap memiliki pola +2, misalkan bilangan genap yang pertama adalah x, maka bilangan genap kedua dan ketiga berturut-turut  adalah x + 2, dan x + 4, sehingga:

Bil.1 + Bil.2 + Bil. 3 = 66

    x + (x+2) + (x+4) = 66

            3x + 6 = 66

                  3x =  60

                     x = 20

bilangan genap pertama = x = 20

bilangan genap kedua = x + 2 = 20 + 2 =22

bilangan genap ketiga = x + 4 = 20 + 4 = 24

Contoh Soal 3

Nilai x yang memenuhi persamaan 3x + 5 = 14 adalah…

Penyelesaiannya :

             3x + 5 = 14

                    3x = 14 – 5

                    3x = 9

                     x  = 9 : 3

                     x =  3

Contoh Soal 4

Untuk persamaan 4x + y = 12, jika x = -1 maka y adalah…

Penyelesaiannya : 

               4( -1) + y = 12

                    -4 + y = 12

                          y = 12 + 4

                           y = 16

Contoh Soal 5

Nilai x yang memenuhi persamaan  5x- 7 = 3x + 5 adalah..

Penyelesaiannya :

            5x- 7 = 3x + 5

              5x – 3x = 5 + 7

                       2x = 12

                          x = 6

Demikianlah pembahasan mengenai Contoh Soal Persamaan Linear Satu Variabel yang bisa kami berikan pada materi kali ini. Semoga apa yang telah dijelaskan di atas bisa membuat kalian memahami lebih dalam lagi tentang bagaimana cara menyelesaikan soal-soal tentang persamaan linear satu variabel. Terima kasih banyak telah membaca tulisan ini dengan baik. Sampai jumpa dalam pembahasan soal selanjunya.

Cara Mudah Menghitung Luas Permukaan Bidang Empat Beraturan

Cara Mudah Menghitung Luas Permukaan Bidang Empat Beraturan - Apakah yang disebut sebagai bidang empat beraturan? bidang empat beraturan merupakan bangun ruang yang terdiri atas empat bidang sisi yang bentuknya berupa segitiga sama sisi. Bidang empat beraturan lebih umum dikenal sebagai limas segitiga beraturan karena keseluruhan sisinya berbentuk segitiga sama sisi. Lalu bagaimanakah cara menghitung luas permukaan bidang dari limas segitiga ini? simak pembahasan Rumus Matematika Dasar di bawah ini:

Cara Cepat Mencari Luas Permukaan Bidang Empat Beraturan

Pertama-tama kalian harus memperhatikan gambar limas segitiga sama sisi (bidang empat beraturan) T.ABC berikut ini:

Bila diperhatikan, pada bangun ruang di atas terdapat empat buah segitiga sama sisi yang luasnya tentu saja sama. Segitiga sama sisi itu adalah ΔABC, ΔBCT, ΔACT, dan ΔABT. Rumus mudah dan cepat untuk menghitung lkuas segitiga sama sisi tersebut adalah:

 L.Δ = ¼s2√3

Ada empat permukaan bidang empat (limas segitiga sama sisi) dengan luas yang sama pada gambar di atas, maka:

L = 4 × L.Δ

L = 4 × ¼s²√3

L = s²√3

Jadi, rumus untuk mencari volume (V) bidang empat beraturan yang memiliki panjang rusuk (s) adalah:

L = s²√3

Contoh Soal 1:

Diketahui sebuah bidang empat beraturan mempunyai panjang rusuk 8 cm. Berapakah  luas permukaan bidang empat beraturan tersebut?

Penyelesaiannya:

L = s²√3

V = (8 cm)²√3

V = 64√3 cm²

Jadi, luas permukaan bidang empat beraturan tersebut adalah 64√3 cm²

Itulah Cara Mudah Menghitung Luas Permukaan Bidang Empat Beraturan (limas segitiga sama sisi) apabila panjang rusuknya telkah diketahui. Semoga saja kalian bisa memahami penjelasan di atas dengan baik.

Contoh Soal dan Pembahasan Cara Menghitung Jarak Titik ke Garis Pada Kubus

Apakah kalian sudah membaca postingan Rumus Matematika Dasar mengenai Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang ? jika belum, sebaiknya membacanya terlebih dahulu agar kalian bisa lebih mudah memahami Contoh Soal dan Pembahasan Cara Menghitung Jarak Titik ke Garis Pada Kubus yang akan dijelaskan di bawah ini:

Contoh Soal dan Pembahasan Cara Menghitung Jarak Titik ke Garis Pada Kubus

Contoh Soal 1

Diketahui panjang rusuk sebuah kubus ABCD.EFGH adalah 6cm. Maka hitunglah jarak:

a).titik D ke garis BF
b).titik B ke garis EG

Penyelesaiannya:

a).Agar lebih mudah dalam menjawabnya, mari kita perhatikan gambar di bawah ini:

Dari gambar di atas kita bisa melihat bahwa jarak titik D ke garis BF adalah panjang diagonal BD yang dapat ditentukan dengan menggunakan teorema phytagoras ataupun dengan rumus. Mari kita selesaikan dengan teorema phytagoras terlebih dahulu:

BD2 = AB² + AD²
BD2 = 6² + 6²
BD2 = 72
BD = √72 = 6√2 cm

beikut bila kita mencarinya dengan menggunakan rumus:

d = s√2
BD = AB√2
BD = (6 cm)√2
BD = 6√2 cm

Maka, jarak titik D ke garis BF adalah 6√2 cm



b). Sama halnya dengan soal a) kita juga harus membuat gambarnya terlebih dahulu agar lebih mudah mengerjakannya.

Dari perhitungan pada soal a) diketahui bahwa panjang diagonal sisi kubus FH = BD adalah 6√2 cm

Untuk mengetahui panjang BP, kita gunakan teorema phytagoras untuk segitiga siku-siku BFP:

FP = ½ FH = 3√2 cm

maka:

BP2 = FP² + BF²
BP2 = (3√2)² + 6²
BP2 = 18 + 36
BP2 = 54
BP = √54 = 3√6 cm

Maka,jarak titik B ke garis EG adalah 3√6 cm

Sekian pembahasan tentang  Contoh Soal dan Pembahasan Cara Menghitung Jarak Titik ke Garis Pada Kubus. Sampai jumpa lagi di dalam pembahasan contoh soal yang lain. Semoga kalian dapat memahami dengan baik apa yang sudah dijabarkan di atas.

Cara Menggambar Grafik Fungsi Aljabar

Menggambar Grafik Fungsi Aljabar - Di dalam pelajaran matematika kalian pasti diajarkan mengenai cara- cara menggambarkan grafik fungsi aljabar baik yang berupa garis lurus maupun grafik fungsi aljabar dengan bentuk parabola. Grafik fungsi aljabar yang berbentuk garis lurus dinyatakan dengan persamaan fungsi linear y = f(x) = mx + nsedangkan grafik fungsi yang berbentuk parabola dinyatakan dalam persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = ax²+ bx + c.

Catatan:

Gambar dan grafik fungsi y = f(x) disebut kurva y = f(x). Untuk selanjutnya kita akan sering menggunakan istilah kurva.

Di dalam materi kali ini, Rumus Matematika Dasar akan mengajarkan cara-cara menggambarkan kurva yang dinyatakan dengan persamaan fungsi suku banyak. Fungsi sukubanyak adala suatu fungsi dengan peubah (variabel) x yang memupnyai pangkat lebih dari dua. Berikut adala beberapa contohnya: 

y = f(x) = x³+ 4x²  - 16x + 2

y = f(x) = x⁴ + 3x³ - 12x² - 10x + 5

y = f(x) = 2x⁵- 10x⁴ + 2x³ + 3x² + 15x + 6 ...... dan seterusnya.

Kurva-kurva yang dinyatakan dengan persaaan fungsi sukubanyak disebut sebagai kurva sukubanyak. 

Di dalam penerapannya, kemampuan menggambar kurva sukubanyak ini merupakan modal dasar untuk mempelajari kalkulus hitung integral, misalnya untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva sukubanyak dengan sumbu X, dan sebagainya.

Beberapa pengertian tentang fungsi naik, fungsi turun, titik balik maksimum, titik balik minimum, titik belok horisontal, serta titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat akan sangat membantu dalam menyelesaikan gambar suatu kurva suku banyak. Sebagai pedoman, berikut ini adalah langkah-langkah yang dapat kalian ikuti tentunya untuk bisa menggambarkan suatu kurva sukubanyak.

Langkah-langkah untuk Menggambar Grafik Fungsi Aljabar

Langkah Pertama

Buatlah terlebih dahulu analisis pendahuluan yang meliputi:

• Menentukan koordinat titik-titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat (jika koordinat itu mudah ditentukan).

             (i) titik potong dengan sumbu X, dengan mengambil syarat y = 0

            (ii) titik potong dengan sumbu Y, dengan mengambil syarat x = 0

• Tentukan interval-interval ketika fungsi itu naik dan ketika fungsi itu turun.
• Tentukan titik-titik stationer serta jenisnya : titik balik maksimum, titik balik minimum, atau titik belok horisontal.
• Tentukan nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval. Jika kurva itu akan digambarkan untuk semua bilangan real, maka perlu ditantukan nilai-nilai y untuk nilai x yang besar positif dan untuk nilai x yang besar negatif.
• Tentukanlah beberapa titik tertentu untuk memperhalus sketsa kurva.

Langkah Kedua

Dari langkah pertama, titik-titik yang didapat kita sajikan dalam bidang cartesius.

Langkah Ketiga

Titik-titik yang telah disajikan dalam bidang Cartesius pada langkah kedua, kemudian kita hubungkan dengan mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi. Dengan demikian, kita akan mendapatkan kurva y = f(x)

Agar kalian lebih mudah dan terampil dalam memahami cara menggambar kurva sukubanyak dengan persamaan y = f(x) maka sebaiknya perhatikan contoh di bawah ini:

Soal

Gambarlah sketsa kurva sukubanyak yang ditentukan dengan persamaan y = f(x) = 4x – x³

Cara Menjawabnya:

Langkah Pertama

(a) Koordinat titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat.

 (i) titik potong dengan sumbu X, dengan mengambil y = 0

      4x – x³ = 0

èx(4 – x²) = 0

èx (2 + x) (2 – x) = 0

èx₁= -2 atau x₂ = 0 atau x₃ = 2

Titik-titik potong dengan sumbu X adalah (-2, 0) (0, 0), dan (2, 0)

                (ii) Titik potong dengan sumbu Y, dengan mengambil x = 0 diperoleh:

                      Y = 4(0) – (0)³ = 0

                Titik potong sumbu Y adalah (0, 0)

(b) Dari f(x) = 4x – x³maka f’(x) 4 – 3x²

     

                  f(x) naik jika f’(x) > 0                     ||             f(x) turun jika f’(x) < 0

                                4 – 3x² > 0                      ||                           4 – 3x² < 0

è3x²< 4                                            ||           à3x² > 4

è-2/3 √3 < x < 2/3 √3                      ||           àx < -2/3 √3 atau x > 2/3 √3     

Perhatikan diagram tanda f’(x) pada gambar berikut ini:

(c) Nilai stationer dan jenisnya

                

                Nilai stationer dicapai apabila f’(x) = 0

               

                4 – 3x² > 0

àx₁= -2/3 √3    atau   x₂ = 2/3 √3

Nilai-nilai stationernya:

Untuk x₁ = -2/3 √3    àf(-2/3 √3) = 4(-2/3 √3) – (-2/3 √3)³ = - 16/9 √3

        

f(-2/3 √3) = - 16/9 √3 merupakan nilai balik minimum, sebab f’(x)berubah tanda dari negatif menjadi positif ketika melewati x =-2/3 √3

Untuk x₂= 2/3 √3    àf(2/3 √3) = 4(2/3 √3) – (2/3 √3)³ =  16/9 √3

f(-2/3 √3) = 16/9 √3 merupakan nilai balik maksimum, sebab f’(x)berubah tanda dari positifmenjadi negatif ketika melewati x = 2/3 √3

Jadi titik balik maksimumnya (2/3 √3), 16/9 √3) dan titik balik minimumnya (-2/3 √3), -16/9 √3)

(d) Untuk x besar maka y = f(x) = 4x – x³ dekat dengan -x³

      Jika x besar positif, maka y besar negatif

      Jika y besar negatif maka x besar positif

(e) Ambil beberapa titik tertentu untuk memperbaiki sketsa kurva.

               

                x = -3 à y = f(-3) = 4(-3) – (-3)³ = 15 à (-3, 15)

                x = -1 ày = f(-1) = 4(-1) – (-1)³ = -3 à(-1, -3)

                x = 1 ày = f(1) = 4(1) – (1)³ = 3 à (1, 3)

                x = 3 à y = f(3) = 4(3) – (3)³ = 15 à (3, 15)

Langkah Kedua

Beberapa titik yang diperoleh pada langkah pertama diletakkan pada bidang kartesius.

Langkah Ketiga

Titik-titik yang telah disajikan pada bidang kartesius itu kemudian dihubungkan untuk memperoleh sketsa kurva yang mulus seperti pada gambar dibawah ini:

Dalam hal ini perlu juga diperhatikan pula naik turunnya fungsi pada interval-interval yang telah ditentukan pada langkah 1 bagian (b)

Demikianlah penjelasan tata Cara Menggambar Grafik Fungsi Aljabar lengkap dengan contoh soal dan penjelasan langkah-langkahnya. Semoga kalian bisa mengerti dan menerapkannya dengan baik.

Memahami Rumus Segitiga Pascal dalam Matematika

Rumus Segitiga Pascal - Di dalam pelajaran matematika, segitiga pascal dapat diartika sebagai sebuah aturan geometrri yang berisi susunan koefisien binomial yang bentuknya menyerupai segitiga. Aturan ini ditemukan dan dikembangkan oleh sorang matematikawan asal perancis yang bernama Blaise Pascal. Perlu kalian ketahio bahwa ada beragam fakta unik yang tersimpan di dalam segitiga pascal ini. Segitiga pascal terdiri dari beberapa baris dimana dalam setiap barisnya terkandung bilangan-bilangan yang berupa koefisien daripada bentuk ekspansi pangkat bilangan cacah dari binomial. Jika belum paham dengan aturan segitiga pascal, berikut adalah salah satu contoh gambar dari segitiga pascal yang bisa kalian amati:

Bisa dilihat dari gambar diatas bahwa puncak atau bagian teratas dari segitiga pascal (baris ke 0) diisi dengan angka 1. Kemudian di bawahnya (baris ke 1) diisi dengan angka 1 dan 1. Kemudian baris elanjutnya (baris ke-2) tetap di isi dengan angka 1 dan 1 dibagian sisinya kemudian pada bagian dalam diisi dengan hasil dari penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya (1+1=2). Sedangkan untuk baris ketiga diisi dengan angka 1 dan 1 pada bagian sisi kemudian bagian tengahnya diisi dengan angka hasil dari penjumlahan dua buah bilangan yang ada pada baris ke-2 (1+2 =3). Kemudian perhatikan pada baris keempat, angka 4 di dapatkan dari hasil penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya (1+3) begitu juga angka 6 diperoleh dari penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya (3 + 3). dan begitu seterusnya.

Penjelasan Rumus Segitiga Pascal dalam Matematika

Bilangan-bilangan yang ada pada setiap baris segitiga pascal menunjuhkan koefisien yang berupapenyederhanaan bentuk dari (a + b)ⁿ.

Apabila kita menjabarkan bentuk (a + b)ⁿ tersebut, maka akan terlihat bahwakoefisien yang diperoleh dari bentuk tersebut sama persis dengan tiap-tiap bilangan yang ada pada setiap baris dari segitiga pascal di atas. Coba perhatikan penyederhanaan berikut ini:

1. (a + b)¹ = a + b   àkoefisiennya adalah 1 dan 1

2. (a + b)² = a² + 2ab + b²    àkoefisiennya adalah 1, 2, dan 1

3. (a + b)³ = (a + b)(a² + 2ab + b²)

                 = a³+ 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

                 = a³+ 3a²b + 3ab² + b³  àkoefisiennya adalah  1, 3, 3, dan 1

Jika kita perhatikan, pola bilangan tersebut sebenarnya adalah koefisien dari expansi pangkat binomial, coba kalian perhatikan contoh berikut ini:

(x + y)⁴ = x⁴+ 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

artinya, pada i=4 diperoleh koefisien dari expansi pangkat binomial 4 yaitu 1, 4, 6, 4, dan 1 yang ternyata adalah bilangan-bilangan yang mengisi baris ke-4 pada sebuah segitiga Pascal. Sekarang coba perhatikan Teorema Binomial di bawah ini:

Dari penguraian rumus diatas, dapat disimpulkan secara umum bahwasannya barisan bilangan yang ada pada baris i=k di dalam sebuah segitiga Pascal dapat dituliskan menjadi seperti berikut ini:

Untuk lebih jelasnya mari kita ambil contoh untuk bilangan ke-2 dan ke-3 yang ada pada baris ke-5 dalam segitiga Pascal adalah:

Dari pola di atas juga bisa diperoleh sebuah rumus baru yang dapat digunakan untuk menentukan bilangan a _{i, j} yang merupakan bilangan yang ada pada baris ke-i dan kolom ke-j seperti berikut ini:

Kita umpamakan saja misalkan kita ingin mencari bilangan yang ada di posisi baris ke-7 dan tepat pada kolom ke-6 maka perhitungan rumusnya adalah:

Dari penjabaran rumus tersebut, kita dapat menuliskan barisan bilangan yang ada pada diagonal ke-d menjadi sebagai berikut:

Sehingga pada akhirnya didapatkan rumus suku ke-n dari barisan bilangan yang ada pada diagonak ke-d seperti di bawah ini:

untuk membuktikan rumus tersebut, mari kita coba mencari diagonal ke-3 pada sebuah segitiga Pascal yang memiliki pola n(n + 1)/2. Berikut adalah hasil ujinya:

Kurang lebih begitulah cara Memahami Rumus Segitiga Pascal dalam Matematika yang bisa Rumus Matematika Dasar jelaskan kepada kalian semua. Semoga kalian bisa memahaminya dengan baik dan mengerti tentang pola bilangan yang berlaku dalam segitiga Pascal. Sampai jumpa lagi dalam materi matematika lainnya.