Pembahasan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers - Pada artikel kali ini materi yang akan dipelajari adalah tentang fungsi komposisi dan fungsi invers. Materi ini termasuk ke dalam salah satu pokok bahasan yang ada di dalam mata pelajaran matematika di Sekolah Menengah Atas (SMA). Ada baiknya sebelum mempelajari materi ini kalian terlebih dahulu memahami Teori, Konsep dan Jenis Himpunan Matematika. Fungsi atau pemetaan termasuk ke dalam relasi karena di dalam sebah fungsi dari himpunan A ke himpunan B terdapat relasi khusus yang memasangkan tiaptiap anggota yang ada pada himpunan A dengan tiap-tiap anggota pada himpunan B. Untuk bisa menyelesaikan soal-soal mengenai fungsi komosisi dan invers tentu kita harus memahami dengan baik konsep ataupun prinsip dasar dari fungsi komposisi dan fungsi invers.

Rumus Matematika Dasar mencoba merangkum materi ini dari berbagai sumber seperti bisa kalian simak di bawah ini:

Pengertian Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi 

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Contoh Soal 1:

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Jawab:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Syarat Fungsi Komposisi

Contoh Soal 2

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :

a.    f o g                                     d.  (f o g) (2)

b.    g o f                                     e.  (g o f) (1)

c.    (f o g) (4)                             f.  (g o f) (4)

Jawab :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini

a.    (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}

b.    (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}

c.    (f o g) (4) = 5

d.    (f o g) (2) tidak didefinisikan

e.    (g o f) (1) = -1

Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

Tidak Komutatif

(g o f)(x) = (f o g)(x)

Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

Fungsi Identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Cara Menentukan fungsi bila  fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui  

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Jawab :

   (f o g) (x)          = -4x + 4

      f (g (x))           = -4x + 4

2 (g (x)) + 2         = -4x + 4

        2 g (x)           = -4x + 2

           g (x)           =  -4x + 2

                                      2

           g (x)            = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f^-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f^-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x)telah diketahui:

Pertama

Ubah persamaan y =  f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua

Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f^-1(y)

Ketiga

Ubah y menjadi x [f^-1(y) menjadi f^-1(x)]

Contoh Soal:

Demikian sedikit ulasan yang dapat kami saya uraikan seputar materi Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers untuk menambah pengetahuan kalian mengenai materi matematika tersebut. mungkin pada kesempatan yang lain saya akan menambahkan beberapa contoh soal mengenai materi ini. jika merasa bingung atau memiliki pertanyaan, silahkan disampaikan melalui kolom komentar yang ada di bawah. sampai jumpa di materi matematika selanjutnya.

Materi Rumus Barisan dan Deret Geometri Lengkap

Rumus Barisan dan Deret Geometri - Ketika duduk di bangku SMA kalian akan memperoleh sebuah materi pelajaran matematika yang bernama Barisan dan Deret. Ada dua jenis Barisan dan Deret di dalam matematika. Yang pertama adalah Barisan dan Deret Aritmatika sementara yang kedua adalah Barisan dan Deret Geometri. Karena Rumus Matematika Dasar sudah pernah membahas Materi Barisan dan Deret Aritmatika, maka kali ini materi yang akan dibahas difokuskan kepada penjelasan mengenai definisi dan rumus-rumus yang digunakan dalam barisan dan deret geometri.

Di sini akan dijelaskan konsep dan rumus penyelesaian untuk Barisan dan deret Geometri, kemudian diberikan juga beberapa contoh soal dan penjelasan mengenai bagaimana cara menyelesaikan soal-soal tersebut dengan menggunakan rumus-rumus yang telah dijelaskan. So, simak materinya dengan baik, ya!

Pengertian dan Rumus Barisan Geometri

Barisan Geometri dapat didefinisikan sebagai barisan yang tiap-tiap sukunya didapatkan dari hasil perkalian suku sebelumnya dengan sebuah konstanta tertentu.

Contoh Barisan Geometri

untuk lebih memahami apa yang dimaksud dengan barisan geometri perhatikan contoh berikut:

3, 9, 27 , 81, 243, ...

barisan di atas adalah contoh barisan geometri dimana setiap suku pada barisan tersebut merupakan hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan konstanta 3. maka bisa disimpulkan bahwa rasio pada barisan di atas adalah 3. rasio pada suatu barisan dapat dirumuskan menjadi:

r = a_k+1/a_k

dimana a_k adalah sembarang suku dari barisan geometri yang ada. sementara a_k+1 adalah suku selanjutnya setelah a_k.

untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

U_n = ar^n-1

dimana a merupakan suku awal dan r adalah nilai rasio dari sebuah barisan geometri.

Mari kita pelajari penggunaan rumus-rumus barisan geometri di atas dalam menyelesaikan soal:

Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri

Contoh Soal 1

Sebuah Bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam apabila sebelumnya terdapat 3 buah bakteri?

Penyelesaian:

a = 3

r = 4

n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5

Masukkan ke dalam rumus:

U_n= ar^n-1

U₅= 3 x 4^5-1

U₅= 3 x 256 = 768 bakteri

Pengertian dan Rumus deret Geometri

Deret geometri dapat diartikan sebagai jumlah dari n suku pertama pada sebuah barisan geometri. apabila suku ke-n dari suatu barisan geometri digambarkan dengan rumus: a_n = a₁r^n-1, maka deret geometrinya dapat dijabarkan menjadi:

S_n = a₁ + a₁r + a₁r²+ a₁r³ + ... + a₁r^n-1

Apabila kita mengalikan deret geometri di atas dengan -r, lalu kita jumlahkan hasilnya dengan deret aslinya, maka kita akan memperoleh:

Setelah diperoleh S_n - rS_n = a₁ - a₁rⁿmaka kita dapat mengetahui nilai dari suku n pertama dengan cara berikut ini:

Berdasarkan kepada hasil perhitungan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa rumus jumlan n suku pertama pada sebuah barisan geometri adalah:

Perhatikan cara menggunakan rumus tersebut pada contoh soal di bawah ini:

Contoh Soal Deret Geometri

Contoh Soal 2

Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri 2, 8, 32, ...

Pembahasan:

a = 2

r = 4

n = 8

Sn = a  (1-rⁿ) / (1-r)

Sn = 2  (1-4⁸) / (1-4)

Sn = 2  (1-65536)/ (-3)

Sn = 2  (-65535)/ (-3)

Sn = 2 x 21845

Sn = 43690

Inilah akhir dari pembahasan Materi Rumus Barisan dan Deret Geometri Lengkap . Terimakasih telah membaca materi ini sampai selesai dan semoga kalian dapat menyerap ilmu dari materi yang dipaparkan di atas. Mohon maaf apabila ada kesalahan di dalam perhitungan angka pada contoh-contoh soal di atas.

Pengertian Transpose Matriks, Sifat-sifatnya serta Contoh Soal dan Pembahasan

Pengertian Transpose Matriks - Yang dimaksud dengan transpose matriks adalah ketika pada sebuah matriks dilakukan pertukaran antara dimensi kolom dan barisnya. Definisi lain dari matriks transpose adalah sebuah matriks yang didapatkan dengan cara memindahkan elemen-elemen pada kolom menjadi elemen baris dan sebaliknya. Biasanya sebuah matriks transpose disimbolkan dengan menggunakan lambang tanda petik (A') ataupun dengan huruf T kecil di atas (A^T). Perhatikan gambar berikut:

Pada gambar di atas dapat didefinisikan bahwa matriks m x n berubah menjadi m x n. Jika kita perhatikan, elemen-elemen yang ada pada baris satu berubah posisi menjadi elemen kolom 1. Elemen pada baris 2 berubah menjadi elemen pada kolom 2, begitu juga dengan elemen pada baris ke 3 berubah posisi menjadi elemen kolom ke 3. Sekarang mari kita lihat sifat-sifat yang berlaku untuk transpose matriks.

Sifat-sifat Matriks Transpose

Transpose matriks memiliki beberapa sifat yang menjadi dasar di dalam operasi perhitungan matriks, yaitu:

(A + B)^T = A^T + B^T

(A^T)^T = A

λ(A^T) = (λA^T), bila λ suatu scalar

(AB)^T = B^T A^T

Contoh Soal dan Pembahasan Transpose Matriks

Berikut adalah salah satu contoh soal tentang transpose matriks dan pembahasan mengenai cara menjawab dan menyelesaikannya:

Demikianlah penjelasan yang sangat sederhana dari Rumus Matematika Dasar mengenai Pengertian Transpose Matriks, Sifat-sifatnya serta Contoh Soal dan Pembahasan. Semoga bisa membantu kalian dalam memahami apa yang dimaksud dengan transpose matriks di dalam pelajaran matematika.