Konsep yang Berkaitan dengan Dalil Pythagoras

Konsep yang Berkaitan dengan Dalil Pythagoras – Tahukah kalian bahwa ada beberapa konsep yang memiliki kaitan erat dengan dalil Pythagoras? Pada artikel kali ini Rumus Matematika Dasar akan menjelaskan beberapa konsep tersebut. Beberapa konsep yang akan kita pelajari bersama adalah kuadrat dan akar kuadrat suatu bilangan serta luas persegi dan segitiga siku-siku. Yuk langsung saja kita simak materinya di bawah ini:

Kuadrat dan Akar Kuadrat Suatu Bilangan

Telah kita ketahui bersama bahwa kuadrat dari suatu bilangan merupakan perkalian berulang dari suatu bilangan sebanyak dua kali. Apabila a adalah suatu bilangan maka kuadrat dari a adalah a². Contoh di bawah ini merupakan bentuk-bentuk kuadrat:

5² = 5 x 5 = 25

(-3)² = (-3) x (-3) = 9

(0,5)² = 0,5 x 0,5 = 0, 25

Lalu apakah yang dimaksud dengan akar kuadrat? Akar kuadart dari suatu bilangan adalah suatu bilangan tak negatif yang dikuadratkan sama dengan bilangan tersebut. Akar kuadrat suatu bilangan merupakan kebalikan dari kuadrat suatu bilangan. apabila yadalah kuadrat dari bilangan x (y = x²) maka bilangan x merupakan akar kuadrat dari bilangan y = (x = akar y). Contohnya bisa kalian lihat berikut ini:

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5

-√9 = -3

√(-5)² = 5

Luas Persegi dan Luas Segitiga Siku-siku

Sebelum mempelajari tentang dalil Pythagoras, sebaiknya kalian memahami dulu mengenai luas persegi dan luas segitiga siku-siku.

Luas Persegi

Luas dari suatu persegi yang memiliki sisi s dapat dirumuskan menjadi:

L = s x s = s²

Misalkan panjang sisi persegi adalah 4 cm, maka:

L = s x s = 4 cm x 4 cm = 16 cm²

Luas Segitiga Siku-siku

Coba perhatikan gambar persegi yang disusun dari dua buah segitiga siku-siku di bawah ini:

Dari gambar di atas dapat diketahui:

Luas segitiga ABD = 1/2 x Luas persegi panjang ABCD

Luas segitiga ABD = 1/2 x AB x AD

Jika sisi AB disebut sebagai alas (a) dan sisi AD disebut sebagai tinggi (t) maka:

Luas segitiga ABD = 1/2 x AB x AD

Luas segitiga ABD = 1/2 x Alas x Tinggi

Luas segitiga ABD = 1/2 x a x t

Misalkan suatu segitiga memiliki alas 9 cm dan tinggi 6 cm, maka:

Luas segitiga = 1/2 x alas x tinggi

Luas segitiga = 1/2 x 9 x 6

Luas segitiga = 27 cm²

Itulah beberapa Konsep yang Berkaitan dengan Dalil Pythagoras sebelum mempelajari lebih jauh mengenai dalil Pythagoras sebaiknya kalian memahami dengan baik konsep-konsep di atas karena akan berguna dalam mempermudah kalian nantinya ketika mempelajari tentang dalil Pythagoras. Semoga materi ini bermanfaat dan kalian bisa memahaminya dengan cermat.

Mengubah Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel ke Bentuk SPLDV

Mengubah Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel ke Bentuk SPLDV – Pada kesempatan kali ini RumusMatematika Dasar akan membahas materi mengenai sistem persamaan non linear dua variabel dan cara menyelesaikannya. Untuk bisa menyelesaikannya kita harus mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk persamaan linear. Setelah itu, sistem persamaan linear yang diperoleh bisa kita selesaikan dengan menggunakan metode-metode yang telah dibahas pada beberapa postingan sebelumnya. Baiklah langsung saja kita simak bersama contoh soal dan penyelesaian yang ada di bawah ini:

Cara Mengubah Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel ke Bentuk SPLDV

Perhatikan dengan baik contoh soal serta langkah-langkah yang harus kalian lakukan untuk menyelesaikan soal yang akan dijelaskan sebagai berikut:

Contoh Soal:

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 2x²– y² = 7 dan 3x² + 2y² = 14

Penyelesaian:

2x² – y² = 7 dan 3x² + 2y²= 14

Misalkan x² = p dan y² = q, akan diperoleh persamaan sebagai berikut.

Persamaan 2x² – y² = 7 menjadi 2p – q = 7

Persamaan 3x² + 2y² = 14 menjadi 3p + 2y = 14

Selanjutnya persamaan tersebut dapat kita selesaikan dengan sistem persamaan linear dua variabel

2p – q = 7      | x2 | ó 4p – 2q = 14

3p + 2q = 14 | x1 | ó3p + 2q = 14 +

                                         7p = 28

                                           P = 4

Setelah itu kita substitusikan p = 4 ke dalam salah satu persamaan, misalkan 2p – q = 7 sehingga:

2p – q = 7 ó2 x 4 – q = 7

ó  8 – q = 7

ó - q = 7 – 8

ó - q = -1

ó q = 1

Karena p = 4 dan q = 1, maka:

x² = p

x² = 4

x = ± √4

x = ± 2

y² = q

y² = 1

y = ± √1

y = ± 1

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah semua kemungkinan kombinasi dari pasangan x dan y, yaitu {(2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1)}.

Ituah langkah-langkah yang dapat kalian praktekan untuk Mengubah Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel ke Bentuk SPLDV cobalah untuk berlatih dengan menyelesaikan soal-soal serupa dengan mengikuti cara penyelesaian yang sudah dijelaskan di atas. Semoga kalian bisa memahaminya dengan baik. Selamat belajar!!!

Cara Menyelesaikan Soal SPLDV dengan Metode Eliminasi

Menyelesaikan Soal SPLDV dengan Metode Eliminasi – Pada pembahasan Rumus Matematika Dasar sebelumnya kita sudah belajar bersama mengenai cara menyelesaikan soal SPLDVdengan metode substitusi. Kali ini kita akan membahas metode lain yang juga bisa digunakan untuk mengerjakan soal-soal SPLDV yang dinamakan dengan metode Eliminasi. Yang dimaksud dengan metode eliminasi adalah menghilangkan atau melenyapkan salah satu variabel dan variabel yang akan di eliminasi haruslah memiliki koefisien yang sama. Apabila koefisien variabel tidak sama maka kalian harus mengalikan salah satu persamaan dengan konstanta tertentu sehingga akan ada variabel yang memiliki koefisien sama. Untuk memahami metode ini, langsung saja kita cermati contoh soal dan cara penyelesaiannya di bawah ini:

Contoh Soal SPLDV dan Penyelesaiannya dengan Metode Eliminasi

Contoh Soal 1:

Ada dua buah persamaan, yaitu 2x + y = 8 dan x – y = 10 dengan x, y R. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi!

Penyelesaian:

Dari kedua persamaan tersebut, kalian bisa melihat koefisien yang sama dimiliki oleh variabel y. Maka dari itu, variabel y inilah yang bisa kita hilangkan dengan cara dijumlahkan. Dengan demikian nilai x bisa ditentukan dengan cara berikut ini:

2x + y = 8

  x – y = 10 +

      3x = 18

        X = 6

2x + y = 8 | x 1 | 2x + y = 8

x – y = 10 | x 2 | 2x – 2y = 20 –

                                  3y = -12

                                   y = -4

Maka, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(6, 4)}.

Metode Campuran

Selain dengan menggunakan metode grafik, metode substitusi, dan metode eliminasi, sistem persamaan linear juga bisa kita selesaikan dengan menggunakan metode campuran yang merupakan kombinasi dari metode substitusi dengan metode eliminasi. Caranya adalah dengan menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi terlebih dahulu baru kemudian dilanjutkan dengan metode substitusi. Simak contoh soal di bawah ini untuk memahami caranya:

Contoh Soal 2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + y = 5 dan 3x – 2y = 11 dimana x, y R.

Penyelesaian:

2x + y = 5 ........ (1)

3x – 2y = 11 .... (2)

Dari kedua persamaan di atas tidak ditemukan koefisien variabel yang sama sehingga salah satu koefisien variabel harus disamakan terlebih dahulu dengan cara mengalikan kedua persamaan dengan suatu bilangan. Semisal kita ingin meyamakan koefisien dari variabel x maka persamaan pertama dikalikan dengan 3 dan persamaan yang kedua dikalikan dengan 2.

2x + y = 5      | x3 | ó 6x + 3y = 15

3x – 2y = 11  | x2 | ó6x – 4y = 22 -

                                            7y = -7

                                             Y = -1

Lalu hasil tersebut bisa kita substitusikan ke salah satu persamaan. Misalkan persamaan pertama, sehingga diperoleh:

2x + y = 5

2x -1 = 5

2x = 5 + 1

2x = 6

x = 3

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah {(3, -1)}

Sekian pembahasan lengkap yang dapat kami sampaikan kepada kalian semua tentang Menyelesaikan Soal SPLDV dengan Metode Eliminasi semoga bisa membantu kalian agar lebih mudah dalam menyelesaikan soal-soal seputar sistem persamaan linear dua variabel. Sampai berjumpa kembali dalam pembahasan soal-soal berikutnya.

Cara Menyelesaikan Soal SPLDV Dengan Metode Substitusi

Menyelesaikan Soal SPLDV Dengan Metode Substitusi - Jika sebelumnya telah diulas mengenai bagaimana cara menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik maka pada kesempatan kali ini Rumus Matematika Dasar akan menjelaskan metode lain yang bisa kalian gunakan untuk menyelesaikan soal-soal mengenai sistem persamaan linear dua variabel. Cara yang digunakan di dalam metode ini ialah dengan menyatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain pada suatu persamaan. Agar kalian lebih mudah dalam memahami metode ini langsung saja kita praktekkan untuk menyelesaikan contoh soal yang ada di bawah ini:

Cara Menyelesaikan Soal SPLDV Dengan Metode Substitusi

Contoh Soal:

Gunakan metode subtitusi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 5x + 5y = 25 dan 3x + 6y = 24 untuk x, y ∈ R!

Penyelesaian:

5x + 5y = 25 .......... (1)

3x + 6y = 24 .......... (2)

Perhatikan persamaan (1)

5x + 5y = 25 ó5y = 25 – 5x

                       ó y = 5 – x

Kemudian, nilai y tersebut disubtitusikan pada persamaan (2) sehingga diperoleh:

3x + 6y = 24 ó3x + 6(5 – x) = 24

                       ó3x + 30 – 6x = 24

                       ó- 3x = -30 + 24

                       ó- 3x = -6

                       ó x = 2

Nilai y yang diperoleh dengan mensubtitusikan nilai x = 2 pada persamaan (1) atau persamaan (2) sehingga diperoleh:

5x + 5y = 25 ó5 x 2 + 5y = 25

                       ó10 + 5y = 25

                       ó5y = 15

                       óy = 3

Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 5x + 5y = 25 dan 3x + 6y = 24 adalah {(2, 3)}

Itulah serangkaian langkah-langkah yang bisa kalian ikuti guna Menyelesaikan Soal SPLDV Dengan Metode Substitusi. Pada artikel selanjutnya akan dijelaskan metode lain yang bisa digunakan untuk menyelesaikan soal-soal serupa tentang sistem persamaan linear dua variabel.

Cara Menyelesaikan Soal SPLDV dengan Metode Grafik

Cara Menyelesaikan Soal SPLDV Dengan Metode Grafik - Halo sahabat Rumus Matematika Dasar perlu kalian ketahui bahwa di dalam menentukan himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear dua variabel ada banyak cara atau metode yang bisa dilakukan, salah satunya adalah dengan menggunakan metode grafik. Sesuai dengan namanya, metode ini menggunakan grafik di dalam menyelesaikan soal-soal SPLDV. Adapun langkah-langkah yang harus dilakukan dalam metode ini adalah:

1. Pertama-tama gambarlah grafik dari masing-masing persamaan di dalam satu diagram cartesius.
2. Kemudian tentukan titik potong dari kedua grafik tersebut.
3. Titik potong tersebutlah yang kemudian menjadi penyelesaian dari SPLDV.

Contoh Soal SPLDV dan Cara Menyelesaikannya

Mari langsung saja kita praktekkan cara tersebut untuk menyelesaikan soal berikut ini:

Contoh Soal 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1, untuk x, y ∈ R dengan menggunakan metode grafik.

Penyelesaian:

Tentukan terlebih dahulu titik potong dari gais-garis pada sistem persamaan dengan sumbu-sumbu koordinat seperti berikut ini:

  x + y = 5

x	0	5
y	5	0
(x, y)	(0, 5)	(5, 0)

  x - y = 1

x	0	1
y	-1	0
(x, y)	(0, -1)	(1, 0)

Berdasarkan hasil di ats, kita bisa menggambarkan grafiknya seperti berikut ini:

Koordinat titik potong kedua grafik tersebut adalah (3, 2). Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1, untuk x, y ∈ R adalah {(3, 2)}.

Contoh Soal 2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y= 3 dan 2x + 2y = 10 untuk x, y ∈ R dengan metode grafik.

Penyelesaian:

Kita tentukan titik potong garis-garis pada sistem persamaan dengan sumbu-sumbu koordinat.

  x + y = 3

x	0	3
y	3	0
(x, y)	(0, 3)	(3, 0)

  2x + 2y = 10

x	0	5
y	5	0
(x, y)	(0, 5)	(5, 0)

Lalu gambarkan ke dalam diagram cartesius:

Dari gambar diagram diatas tampak bahwa kedua garis tidak saling berpotongan artinya grafik tersebut tidak memiliki titik potong. Dapat disimpulkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki himpunan penyelesaian.

Demikianlah penjelasan mengenai Cara Menyelesaikan Soal SPLDV Dengan Metode Grafik. Semoga kalian bisa memahami langkah-langkah penyelesaian soal diatas dengan baik sehingga bisa mengerjakan soal-soal serupa dengan lebih mudah.

Sifat-Sifat Barisan atau Deret Aritmetika

Sifat-Sifat Barisan atau Deret Aritmetika - Dalam topik sebelumnya, Rumus Matematika Dasar sudah pernah memberikan penjelasan tentang Materi Barisan dan Deret Aritmetika untuk melengkapi postingan tersebut, kali ini akan dibahas mengenai sifat-sifat yang dimiliki oleh barisan atau deret aritmetika. Kalian harus memperhatikan kembali konsep-konsep tentang suku ke-n dan jumlah n suku pertama di dalam deret aritmetika. Apabila kalian telah memahaminya dengan baik, maka tentunya kalian akan bisa memahami sifat-sifat yang berlaku pada barisan ataupn deret aritmetika yang di bawah ini dengan lebih mudah:

Sifat-Sifat Barisan atau Deret Aritmetika

Sifat Pertama:

Apabila x, y, dan z merupakan bilangan yang berurutan dari suatu barisan aritmetika, maka akan berlaku: 

"Dua kali bilangan yang ditengah sama dengan jumlah dari kedua bilangan yang ada di sampingnya"

2y = x + z

Pembuktian:

Misalkan saja sebuah barisan aritmetika mempunyai beda b maka y = x + b dan z = x + 2b sehingga:

2y = x + z

2(x + b) = x + ( x + 2b)

2x + 2b = 2x + 2b

Terbukti bahwa ruas kanan = ruas kiri

Sifat Kedua:

Apabila w, x, y, z, empat bilangan yang berurutan dari suatu barisan aritmetika, maka akan berlaku:

"Jumlah dari dua bilangan yang terletak di tengah sama dengan jumlah dari dua bilangan yang ada di sampingnya"

x + y = w + z

Pembuktian:

Misalkan suatu barisan aritmetika memiliki beda b maka x = w + b, y = w + 2b, z = w + 3b sehingga:

x + y = w + z

(w + b) + (w + 2b) = w + (w + 3b)

2w + 3b = 2w + 3b

Terbukti bahwa ruas kanan = ruas kiri

Sifat Ketiga:

Apaila U adalah suku ke-n barisan aritmetika maka berlaku:

"Selisih antara jumlah n suku pertama dan jumlah n - 1 suku pertama adalah suku ke-n"

Source: Salamah. U. 2012. Berlogika Dengan Matematika 3. Solo : Platinum

Sekian pembahasan serta penjelasan singkat mengenai materi Sifat-Sifat Barisan atau Deret Aritmetika pelajari dengan baik sifat-sifat tersebut karena apabila kalian dapat memahaminya dengan baik tentu nantinya akan mempermudah kalian dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan materi barisan dan deret aritmetika.

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar - Pada kelas VII tentu kalian sudah pernah mempelajari tentang Operasi Penjumlahan dan Pengurangan pada Bentuk Aljabar. Tahukah kalian bahwa sebenarnya konsep tersebut tetap bisa digunakan pada penjumlahan dan pengurangan bentuk akar. Simak lebih jauh ulasan Rumus Matematika Dasar di dalam postingan berikut ini:

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar secara umum dapat digambarkan sebagai berikut:

a√b + c√b = (a + c)√b

a√b- c√b = (a - c)√b 

dengan a, b, c ∈ R dan b ≥ 0

Contoh penjelasan dari konsep diatas bisa kalian lihat seperti pada perhitungan di bawah ini:

4√2 + 2√2 = (4 + 2) √2 = 6√2
7√6- 3√6 = (7 - 3) √6 = 4√6

Untuk memahami lebih jauh kalian juga bisa menyimak beberapa contoh soal dan cara penyelesaiannya berikut ini:

Contoh Soal:

Sederhanakanlah bentuk berikut ini:

a). 2√5 + 3√5 - 4√5

b). 4√7 - 3√7 + 2√7

Penyelesaiannya:

a). 2√5 + 3√5 - 4√5 = (2 + 3 – 4)√5 = (5 – 4)√5 = √5

b). 4√7 - 3√7 + 2√7 = (4 – 3 + 2)√7 = (1 + 2)√7 = 3√7

Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Sifat perkalian bentuk akar dapat dijabarkan seperti berikut ini:

a√b x c√d= ac√bd

dengan a, b, c, d  ∈ R dan b ≥ 0, d ≥ 0

Langsung saja kita simak cara menggunakan sifat tersebut dalam menyelesaikan soal-soal di bawah ini:

Contoh Soal:

Tentukan hasil dari operasi berikut:

a).√8 x √12

b). 2√3 x 5√2

Penyelesaian:

a).√8 x √12 = √(8 x 12) = √96 = √(16 x 6) = 4√6

b). 2√3 x 5√2 = (2 x 5) x √3 x √2 = (2 x 5) x √(3 x 2) = 10 x √6 = 10√6

Sifat pembagian dalam bentuk akar dapat diuraikan menjadi sebagai berikut:

√a/√b = √a/b

dengan a, b ∈ R dan a ≥ 0, b ≥ 0

Simak contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini:

Contoh Soal:

a). 5√3

     3√3

b). 2√18

       √3

Penyelesaian:

a). 5√3 = 5 √3 = 5
     3√3    3   3     3

b). 2√18 = 2 √18 = 2 √6
       √3             3

Operasi Campuran Bentuk Akar

Dengan menggunakan sifat-sifat yang ada pada bilangan berpangkat, maka kalian bisa lebih mudah dalam menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akar. Sebelum mengerjakan operasi campuran, sebaiknya kalian memahami urutan operasi hitung berikut ini:

Yang menjadi prioritas untuk didahulukan dalam operasi hitung adalah bilangan-bilangan yang ada di dalam tanda kurung. Apabila tidak ada tanda kurungnya maka:

a. Pangkat dan akar sama kuat.
b. Kali dan bagi sama kuat.
c. Tambah dan kurang sama kuat
d. Kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang.

Contoh Soal:

Selesaikan operasi bilangan berikut ini:

a).√3 x 3√2 + 5√6

b).2(√36 : √9) - (2√12 : √3)

Penyelesaian:

a).√3 x 3√2 + 5√6 = (√3 x 3 x √2) + 5√6 = (3 x √6) + 5√6 = 3√6 + 5√6 = 8√6 

b).2(√36 : √9) - (2√12 : √3) = (2√4) - (2√4) = 0

Source: Salamah. U. 2012. Berlogika Dengan Matematika 3. Solo : Platinum

Demikianlah penjelasan materi Operasi Aljabar pada Bentuk Akar lengkap untuk kalian pelajari guna memahami lebih jauh tentang cara menyelesaikan operasi hitung aljabar pada bilangan-bilangan berbentuk akar. Semoga bermanfaat!!!